已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1与a4的一等比中项为...

Question

已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1与a4的一等比中项为4√2，a2与a3的等差中项为6． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=Sn+3+（-1）n+1an2（n∈N*），请比较bn与bn+1的大小； （Ⅲ）数列{an}中是否存在三项，按原顺序成等差数列？若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明．

Answer 1

解：（I）由题意得{a2a3=a1•a4=(4√2)2=32a2+a3=2×6=12，
解得{a2=4a3=8或{a2=8a3=4-（2分）
由公比q＞1，可得a2=4，a3=8，q=a3a2=2．（3分）
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n．（5分）
（Ⅱ）a1=2，Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2，（6分）
bn=Sn+3+（-1）nan2=（2n+4-2）+（-1）n+122n，
bn+1=（2n+5-2）+（-1）n22（n+1），
bn+1-bn=2n[16+5（-1）n2n]．（8分）
当n=1或为正偶数时，bn+1-bn＞0，bn+1＞bn；-（9分）
当n正奇数且n≥3时，bn+1-bn=2n（16-5×2n）≤2n（16-5×23）＜0，bn+1＜bn．（10分）
（Ⅲ）假设数列{an}中存在三项ak，am，an（k＜m＜n）成等差数列，（11分）
则ak+an=2am，即2k+2n=2m，1+2n-k=2m-k，（12分）
由k＜m＜n知1+2n-k为奇数，2m-k为偶数，从而某奇数=某偶数，产生矛盾．（13分）
所以数列{an}中不存在三项，按原顺序成等差数列．（14分）