圆的参数方程能直接化为极坐标方程吗？例如这个，

Question

如题所述

Answer 1

要将平面直角坐标系中的参数方程化为极坐标方程，一般来说有两种常用方法

先将参数方程化为普通方程，再根据极直互化公式化为极坐标方程，具体过程如下：



根据方程所表示的图形直接写出其极坐标方程：

由于参数方程表示了圆心坐标为(1,0)，半径为1的圆，在极坐标系中，其圆心坐标仍为(1,0)，半径为1，而极坐标系中圆心为(a,0)，半径为a的圆的极坐标方程为 ρ=2acosθ，故该参数方程表示的圆的极坐标方程为

ρ=2cosθ

Answer 2

可以直接化为极坐标方程。

你的例子的解答如下：

ρ²=x²+y²=2+2cosφ，tanθ=y/x=tan(φ/2)；

不考虑φ的范围的话（认为φ取遍实数），由第二个式子得到θ=φ/2，即φ=2θ，代入第一个式子消去φ得到ρ²=2+2cos(2θ)，就得到了原来参数方程对应的极坐标方程。

考虑到2+2cos(2θ)=2(1+cos(2θ))=2(2cos²θ)=4cos²θ，这个极坐标方程还可以进一步化简为ρ=2cosθ。

一般情况下，参数方程有形式x=x(t),y=y(t)。可以通过以下步骤在不化为直角坐标系下的普通方程的情况下直接化为极坐标方程：

由ρ²=x²+y²，tanθ=y/x可以得到ρ²=f(t)，tanθ=g(t)；

再消去t即可得到它的极坐标方程。

注：

实际上，做完第一步之后得到的ρ²=f(t)，tanθ=g(t)就已经可以算作是极坐标方程了，只不过是极坐标系下的参数方程，可能不是你想要的结果。

在转换和化简过程中，要特别注意各个变量的取值范围。

Answer 3

圆的参数方程可以直接化为极坐标方程。

例子如下：

解：x-1=cosφ ①

y=sinφ ②

①²，得

（x-1）²=cos²φ ③

②²，得

y²=sin²φ ④

③+④，得

（x-1）²+y²=sin²φ+cos²φ

（x-1）²+y²=1

Answer 4

可以, 如下图所示

Answer 5

通常情况下是不可以直接转化的，需要将参数方程转化为直角坐标方程，然后在转化为极坐标方程，但是在做了大量的习题之后会有一些规律，对于简单一点的就可以直接转化。
通常做法：
x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，整理，得

cosφ=ρcosθ-1，sinφ=ρsinθ
sin²φ+cos²φ=1，因此(ρsinθ)²+(ρcosθ-1)²=1
ρ²sin²θ+ρ²cos²θ-2ρcosθ+1=1
ρ=2cosθ
所求圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，(0≤θ<2π)；
总结的规律：
圆的极坐标方程的形式与坐标原点的选择有关。
1、如果半径为R的圆的圆心在直角坐标的x=R,y=0点，即（R，0），也就是极坐标的ρ=R，θ=0，即（R，0）点：那么该圆的极坐标方程为：
ρ=2Rcosθ。
2、如果圆心在x=R,y=R,或在极坐标的（√2 R，π/4），该圆的极坐标方程为：
ρ^2-2Rρ(sinθ+cosθ)+R^2=0
3、如果圆心在x=0,y=R,该圆的极坐标方程为：
ρ=2Rsinθ。
4、圆心在极坐标原点：
ρ=R（θ任意）
由题知，圆心为（1，0），为上述第1种情况，即ρ=1，θ=0，那么该圆的极坐标方程为：
ρ=2cosθ。