（2011?常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l 1 过点A（1，0）且与y轴平行，直线l 2 过点B（0，2）且与x轴

Question

（2011?常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l 1 过点A（1，0）且与y轴平行，直线l 2 过点B（0，2）且与x轴平行，直线l 1 与直线l 2 相交于点P．点E为直线l 2 上一点，反比例函数 （k＞0）的图象过点E与直线l 1 相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若点E与点D重合，则k=1×2=2； （2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形， ∵PF⊥PE， ∴S △ FPE = PE?PF= （ ﹣1）（k﹣2）= k 2 ﹣k+1， ∴四边形PFGE是矩形， ∴S △ PFE =S △ GEF ， ∴S △ OEF =S 矩形 OCGD ﹣S △ DOF ﹣S △ EGD ﹣S △ OCE = ?k﹣（ k 2 ﹣k+1）﹣k= k 2 ﹣1 ∵S △ OEF =2S △ PEF ， ∴ k 2 ﹣1=2（ k 2 ﹣k+1）， 解得k=6或k=2， ∵k=2时，E、F重合， ∴k=6， ∴E点坐标为：（3，2）； （3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF， ①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H， ∵△FHM∽△MBE， ∴ = ， ∵FH=1，EM=PE=1﹣ ，FM=PF=2﹣k， ∴ = ，BM= ， 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM 2 =EB 2 +MB 2 ， ∴（1﹣ ） 2 =（ ） 2 +（ ） 2 ， 解得k= ，此时E点坐标为（ ，2）， ②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得， = ， ∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE= ﹣1， ∴ = ，BM=2， 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM 2 =EB 2 +MB 2 ， ∴（k﹣2） 2 =（ ） 2 +2 2 ，解得k= 或0，但k=0不符合题意， ∴k= ． 此时E点坐标为（ ，2）， ∴符合条件的E点坐标为（ ，2）（ ，2）．

略