如何判定级数的发散性

Question

小弟学级数时候进入了误区~无论如何也想不明白级数发散性的判断~~
例如 ∞ ln^n
∑ ----- 的收敛性我就想不明白 希望高手能指点一下~~~
n n
最好可以告诉小弟一下 判断级数收敛性的一些小技巧跟新的 谢谢了~~~~

Answer 1

判别一个级数的发散性有如下步骤。

1、看通项un的极限是不是0。

2、如果极限不为0，那么∑un必然发散。

3、如果极限为0，那么∑un就有可能发散也有可能收敛，要具体分析。

4、幂级数Σa_n*x^n（n从0到+∞）在收敛半径之内绝对收敛，在收敛半径之外发散。在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散。

举例：判定∑(1/(n*n^(1/n)))是不是发散的。

1/(n*n^(1/n)）<1/n，可是∑1/n是发散的，所以还是不能断定。

但是注意到n^(1/n）在n很大的时候趋于1，所以1/(n*n^(1/n)）>1/(2n)。而∑1/(2n)发散，可以断定∑(1/(n*n^(1/n)))发散。

Answer 2

没看明白你给的级数是啥。但是一般来说，判别一个级数是否发散。首先看通项un的极限是不是0.如果极限不为0那么∑un必然发散；如果极限为0，那么∑un就有可能发散也有可能收敛。得具体分析了
但是一般来说，我们总是希望un能跟我们熟悉的一个数列去比较。比如如果un>vn。而∑vn是发散的，那么∑un当然更得发散。举个例子吧：要你判定∑(1/(n*n^(1/n)))是不是发散的。那么你第一感觉1/(n*n^(1/n)）<1/n对吧？可是∑1/n是发散的，所以还是不能断定。但是注意到n^(1/n）在n很大的时候趋于1，所以1/(n*n^(1/n)）>1/(2n)。而∑1/(2n)发散.这下好了，可以断定∑(1/(n*n^(1/n)))发散了

这个例子是个典型，具体做题也是遵循这种思路。lz好运本回答被提问者采纳

Answer 3

是数学专业课的《数学分析》的下册的内容
基本内容: 正项级数的概念；正项级数收敛的充分必要条件；级数敛散性的比较判别法与达朗贝尔比值判别法。
重点是比较判别法与达朗贝尔比值判别法。
难点是比较判别法与达朗贝尔比值判别法的灵活应用

数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
(—·)
人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：
(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法．
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法．
(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大．
(4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数．
(5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。
(二)
回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．

Answer 4

幂级数Σa_n*x^n（n从0到+∞）在收敛半径之内绝对收敛，在收敛半径之外发散。在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散。

所以面对一个幂级数应该首先求出它的收敛半径，然后判断收敛区间端点上的敛散性。
而因为区间端点对应确定的x值，此时的幂级数就变成了一个数项级数，因此按照数项级数的审敛准则来判断敛散性，例如p-级数、交错级数等。本回答被网友采纳

Answer 5

　　判别一个级数是否发散。首先看通项un的极限是不是0.如果极限不为0那么∑un必然发散；如果极限为0，那么∑un就有可能发散也有可能收敛。得具体分析了
　　但是一般来说，我们总是希望un能跟我们熟悉的一个数列去比较。比如如果un>vn。而∑vn是发散的，那么∑un当然更得发散。举个例子吧：要你判定∑(1/(n*n^(1/n)))是不是发散的。那么你第一感觉1/(n*n^(1/n)）<1/n对吧？可是∑1/n是发散的，所以还是不能断定。但是注意到n^(1/n）在n很大的时候趋于1，所以1/(n*n^(1/n)）>1/(2n)。而∑1/(2n)发散.这下好了，可以断定∑(1/(n*n^(1/n)))发散了。