将下列函数展开成x的幂级数,并求其成立的区间
(1)f(x)=ln(a+x)
(2)f(x)=e^-x²
(3)f(x)=cos²x
谢谢了!求具体过程!
答:
(1):ln(a+x) = ln(a)+Σ(n=1,∞) (-1)ⁿ⁻¹*xⁿ/(naⁿ)
收敛域为- a < a ≤ a
(2):e^(- x²) = Σ(n=0,∞) (-1)ⁿ*x²ⁿ/n!
收敛域为(-∞,+∞)
(3):cos²x = 1/2+1/2*Σ(n=0,∞) 2²ⁿ*x²ⁿ/(2n)!
收敛域为(-∞,+∞)
这三道题都蛮基础的,套用一般的泰勒级数公式再化简一下就是了
过程如图所示:
其中在计算收敛域的部分没有详细说明,那个只是用极限比值法就能轻松求出来了,有不懂的就再追问吧。
追问请问这一步怎么变来的呢?已知是有泰勒公式变的
谢谢
后面那个级数是运用ln(1+x)=Σ(n=1,∞) (-1)^(n-1)*x^n/n
你把x换为x/a就是了
不是很理解呀 泰勒公式不是这样的吗 怎么n!还有(x-x0)^n不见了呢
题目说了,展开为x的幂级数,即结果中只能出现x^n
如果题目说的是展开为x-x0的幂级数的话,就是用(x-x0)^n,也就是你给的那个级数来表示结果
泰勒公式的定义就是这样的,求多少阶导数就会产生相应阶数项的系数
请问这种题又要怎么证明呢
我补充了 刚图片上传不成功