求高数微积分洛必达法则题，求解

Question

如题所述

Answer 1

(5)
原式=lim(x→0)1/tanx ·(x-sinx)/(xsinx)
=lim(x→0)(x-sinx)/(xsinxtanx)
=lim(x→0)(x-sinx)/x³
=lim(x→0)(1-cosx)/(3x²)
=lim(x→0)(sinx)/(6x)
=1/6

(6)
原式=lim(x→0+)exp[1/lnx·ln(cotx)]
=lim(x→0+)exp[ln(cotx)/lnx]
=exp{lim(x→0+)[ln(cotx)/lnx]}
=exp{lim(x→0+)[1/(cotx)·(cotx)'/(1/x)]}
=exp{lim(x→0+)[1/(cotx)·(-csc²x)/(1/x)]}
=exp{lim(x→0+)[-x/(sinx·cosx)]}
=exp{lim(x→0+)[-x/(x·cosx)]}
=exp[lim(x→0+)(-1/cosx)]
=exp(-1)
=1/e

【附注】
exp(A)=e的A次方