【数学】三角极限的问题

Question

当a→0时sin(a)+sin(2a)+sin(3a)+```+sin(90°)=？

Answer 1

采用复数解法：设复数z=cos a+cos ai=e^ia,则z^2=e^i2a……z^n=e^ina；对s=z+z^2+z^3+……+z^n求和，利用等比级数求和公式,得s=z(1-z^n)/1-z;按实部虚部展开，因为z^n=cos na+sin nai,则s=(cos a+cos 2a+……+cos na)+(sin a+sin 2a+……sin na)i（1式）,由s=z(1-z^n)/1-z,得s=(cos a+sin ai)(1-cos na-sin nai)/1-cos a-sin ai;计算出s的值，再将实部虚部与1式对应即可。
方法二：原式乘以cos a,得sin acos a+sin 2acos a+……sin nacos a,利用积化和差，得1/2[sin 2a+sin3a+sin a+sin 4a+sin 2a+sin 5a+sin 3a+……+sin(n+1)a+sin(n-1)a]=1/2[sin(n+1)a-sin na-sin a]+原式，即原式*cos a=1/2[sin(n+1)a-sin na-sin a]+原式，则原式＝[sin na+sina-sin(n+1)a]/(2-2cos a)追问

天哪，复数我还没学，能不能用别的方法??方法2里面sin na怎么搞的？

追答

额，你现在上的什么啊

追问

额，方法二能看懂些，但是90度去哪了

追答

解答：
利用积化和差公式，达到裂项的效果。
2sinka*sin(a/2)
=-cos[(k+1/2)a]+[cos(k-1/2)a]
∴ 2sin(a/2)*(sin a+sin 2a +sin 3a +...+sin na)
= 2sina*sin(a/2)+2sin2a*sin(a/2)+2sin3a*sin(a/2)+......+2sin(na) *sin(a/2)
=[cos(a/2)-cos(3a/2)]+[cos(3a/2)-cos(5a/2)]+[cos(5a/2)-cos(7a/2)]+.....+[cos(na-a/2)-cos(na+a/2)]
=cos(a/2)-cos(na+a/2)
∴ sin a+sin 2a +sin 3a +...+sin na=[cos(a/2)-cos(na+a/2)]/[2sin(a/2)]

追问

同志···我的最后一项是sin90度

追答

额，别的我还真的不知道了，简单的早就给忘了，

追问

其实嘛，n=π/2a就可以啦，积化和差方法很不错！

追答

好像把，这个有点印象，不太熟悉了，你就按照这个弄吧。

Answer 2

法国恢复和法国恢复规划

Answer 3

无穷小追问

恰恰不可能，sin90度都是1