高等代数，X是n维向量，A和B是矩阵，已知X'AX=0，X'BX=0，能得X'(A+B)X=0吗？

Question

如题所述

Answer 1

AX=0：任意有限个解的线性组合还是解。
Ax=β：Ax=β的任意两个解的差是Ax=0的解；Ax=β的解与Ax=0的解的和是Ax=β的解。
根据它们的解的性质，就可以很容易推导出齐次与非齐次线性方程组的通解结构：
知道Ax=0的n-r个线性无关的解α1,α2,...,α(n-r)，它们的线性组合x=C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)就是Ax=0的通解，其中r是A的秩。
知道Ax=β的一个解x*以及Ax=0的通解x=C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)，可知Ax=β的通解是x=x*+C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)。