线面角公式

Question

如题所述

Answer 1

线面角的公式：c=|n*PA|/(|n|*|PA|)。

过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条线与原直线的夹角的余角）即为线面角。

a.斜线和平面所成的角:一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线。斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。

线面角的取值范围是[0°, 90°]；

当且仅当直线垂直于平面时，线面角为90°；

线面角的大小与直线的方向有关，与直线在平面上的位置无关。

线面角的求法

1、直接法：即定义法，作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形,根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求。

2、三余弦定理：设斜线与平面所成角为θ，在平面上作出一条过斜足的特殊直线,求出该直线与射影间的夹角θ，以及它与斜线间的夹角γ或其余弦,就可利用三余弦关系cosγ=cosθ·cosβ求出线面角的余弦值。 

3、三正弦定理

设二面角M-AB-N的度数为α，在平面M内有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成角为γ，则sinγ=sinαsinβ。

结论：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值。