为什么微分总是以函数的直线来近似代替函数的实际增量？

Question

如题所述

Answer 1

因为函数在各点的导数就是函数在各点的变化率，其几何意义就是函数曲线在该点处的切线斜率。

微分则是函数在该点处的微增量dx与该点导数的乘积，也就是切线的y增量dy，以dy来近似代替函数值的增量△y，如果函数是直线，则两者相等［△y=dy]，如果函数为曲线，则两者不相等［，也就是说微分总是以函数的直线（线性微增量来近似代替函数的实际增量。

近似非线性模型

非线性模型=线性模型+尾项（尾项＝非线性模型－线性模型），

关键在于表示尾项，研究尾项，找到尾项可以被控制的逼近模型。

把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有

Δy = AΔx +尾项，尾项=Δy－AΔx能否是比Δx高阶的无穷小？

如果能，就称函数在点x0可微分。简称可微。记dy = AΔx，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。