设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1

Question

设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1≤y≤3 问题（1）：确定常数k （2）：求p（X≤½ Y≤2 求p（X＜½ （4） 求P（2X+Y≤3）

Answer 1

1) 根据全定义域上总积分=1

    k ∫(1~3)∫(0~1) (3x²+xy) dxdy=1

     ∫(1~3){(x³+x²y/2)|(x:0~1)}dy=1/k

                      ∫(1~3)(1+y/2)dy=1/k

                           y+y²/4 |(1~3)=1/k

                             3+9/4-1-1/4=1/k

                                            4=1/k

                                            k=1/4

2) P=k∫(1~2)∫(0~1/2)(3x²+xy)dxdy

      =k∫(1~2){(1+y)/8} dy

      =k{(1+y)²/16}|(1~2)

      =5k/16

      =5/64

3)这里需要把y作全定义域积分

  P=k∫(1~3)∫(0~1/2)(3x²+xy)dxdy

    =k∫(1~3){(1+y)/8} dy

    =(16-4)/64

    =12/64

    =3/16

4)1<=y<=3-2x

    0<=x<=1

见图中黑色区域(如果想先积x,式子带一个除以2的觉得比较讨厌)

 

P=k ∫(0~1)∫(1~3-2x) 3x²+xy dydx

 =k ∫(0~1){3x²y+xy²/2|(1~3-2x)}dx

  =k ∫(0~1) {3x²(2-2x)+x(8-12x+4x²)/2} dx

  =k ∫(0~1) {6x²-6x³+4x-6x²+2x³} dx

 =k ∫(0~1) {4x-4x³} dx

 =k(2x²-x^4)|(0~1)

 =k

 =1/4

追问

嗯嗯，谢谢，真是大神。再帮我做个题

设二维随机变量（X.Y）的概率密度函数为 f（x.y）={12 e的负3x+4y x＞0 y＞0 其他函数为0 求p（0≤X≤1 0＜Y＜2）

追答

上面类似例子已经有了，建议你自己举一反三

∫(0~2)∫(0~1)12e^(-3x-4y) dxdy

答案是(1-e^(-3))*(1-e^(-8))
可以化成

1-e^(-3)-e^(-8)+e^(-11)
也可以计算器算出来
看你们的要求了

追问

哦哦

帮忙解个题