求锥面z=√(x^2+y^2)被柱面z^2=2x所截曲面面积

Question

如题所述

Answer 1

方法一
对于z=f(x,y),曲面面积为
A=∫∫D
dA=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割
则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ
锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ
əf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ
(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1
∴A=∫∫D
√[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
=∫∫D
√[1+1]
rdrdθ
=√2∫[∫rdr]dθ=√2∫[r^2/2]dθ=√2∫[2cos²θ]dθ=√2∫[1+cos2θ]dθ
=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π
方法二：详见下图