第2个回答 2022-12-05
简单的说,微分就是求近似值,积分就是求准确值。
巨大八爪鱼:微分dx、dy表示什么含义?不定积分为什么含有dx?把一个量设为dx又是什么意思?
并且不定积分是微分的逆运算,不是求导的逆运算。例如,因为d(sinx+C)=cosxdx,所以∫cosxdx=sinx+C。因为d(lnx+C)=dx÷x,所以∫(dx÷x)=lnx+C(x>0)。由此可以得出:∫dx=x(令C=0)。
若y=x²,则dy=2xdx,其含义是:y的改变量的近似值等于x的初值的两倍乘上x的改变量。
那么dy÷dx=2x的含义就是:y的改变量的近似值除以x的改变量等于x的初值的两倍。 d(lnx)=dx÷x的含义:lnx的改变量的近似值等于x的改变量除以x的初值。
 的含义:当x的改变量趋于0时y的改变量的准确值除以x的改变量,等于任何情况下y的改变量的近似值除以x的改变量。
微分学中规定自变量的微分等于自变量的改变量(也叫增量),即dx=△x。
但△y表示函数值的改变量的准确值,dy表示函数值的改变量的近似值。
莱布尼茨微分三角形
若y=x²,当x的初值为5,x的改变量dx=△x=2时,x是由5变到7,函数值y则是由25变到49。
此时y的改变量的准确值△y=49-25=24,但y的改变量的近似值dy=2xdx=2×5×2=20。
函数y=x²在x=5处的微分记作  。
注意:x²的微分必须写成d(x²),不能写成dx²。微分运算的优先级高于乘方,先微分后乘方。dx²表示(dx)²,d²y÷(dx)²表示y的二阶微分除以x的改变量的平方。
定积分就是已知近似值,求准确值。例如,已知y的改变量的近似值是2xdx,那么当x从5变到7时,y的改变量的准确值就是  。
其中2x叫做被积函数,2xdx叫做被积表达式。被积表达式的值为2×5×(7-5)=20。
也就是说,在定积分中,被积表达式表示的是y的改变量的近似值,下限表示x的初值,上限表示x的末值,上限减去下限表示x的改变量,积分结果是y的改变量的准确值。
注意:像  这样的积分表达式,规定上下限指的是x的值,这里 ,被积表达式的值为  。定积分用凑微分法,不用变上下限。但凑微分后,被积表达式的值会改变,因为已经有部分因式被积出来了,被积表达式的值(近似值)比以前更接近准确值了。本回答被网友采纳