什么函数既是奇函数又是偶函数？

Question

如题所述

Answer 1

f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)=0f(x)既是奇函数又是偶函数可得
f(x)=f(-x)=-f(x)解得
f(x)=0
只要定义域关于原点对称，对应法则为f(x)=0,都是又奇函数又偶函数。

Answer 2

若f（x）既是奇函数又是偶函数，
则f（-x）=-f（x）且f（-x）=f（x），
所以-f（x）=f（x）所以一定有f（x）=0，
但要注意，不能说是奇函数又是偶函数的只有1个，
例如f（x）=0（-1≤x≤1）与g（x）=0（（-10≤x≤10）
是不同的函数，但它们既是奇函数又是偶函数.

Answer 3

证明：若函数f（x）为奇函数，对∀x，有f（-x）=-f（x）；
若函数f（x）为偶函数，对∀x，有f（-x）=f（x）；
假设存在函数f（x）既是奇函数又是偶函数，
则必有f（-x）=-f（x）、f（-x）=f（x）两式同时成立
联立两个等式可有：f（-x）=-f（x）=f（x），
此时不难看出f（x）=0。
结论：存在既是奇函数又是偶函数的函数。

Answer 4

定义域是-1,1，因为对于定义域的每一个x，都有f(x）=0,所以f(-x)=f(x)=-f(x)=0

Answer 5

f（x）=C（c是常数），当c≠0的时候，f（x）只是偶函数，不是奇函数。f（x）只满足f（-x）=f（x）的要求，不满足f（-x）=-f（x）的要求。
所以既是奇函数，又是偶函数的函数只有一类，那就是f（x）=0，且定义域关于原点对称，这类函数就既满足f（-x）=f（x）的要求，也满足f（-x）=-f（x）的要求。所以既是奇函数，也是偶函数。
证明：
因为f（x）既是奇函数，也是偶函数，所以定义域关于原点对称。
当x=0的时候，如果f（x）有定义，因为f（x）是奇函数，即f（0）=-f（-0）成立，即f（0）=-f（0）成立，得到f（0）=0
当x≠0的时候，因为f（x）是奇函数，有f（x）=-f（-x）成立；因为f（x）也是偶函数，所以f（x）=f（-x）
所以f（x）=-f（-x）和f（x）=f（-x）同时成立，就得到f（x）=-f（x），所以f（x）=0
所以f（x）就是恒等于0，且定义域关于原点对称的函数。