懂了
空集是真子集吗,空集子集、真子集
真子集不包括本身。但是可以包括空集。如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集。如果集合A⊊B,且集合A≠∅,集合A是集合B的非空真子集。
所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集;所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集(即N⊊Z);{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}; ∅⊊{∅}。但不能说{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。
设全集I为{1, 2, 3},则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅;而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。
1、命题1:若集合A有n个元素,则集合A的子集个数为2n,且有2n-1个真子集,2n-2个非空真子集。
证明:设元素编号为1, 2, ... n,每个子集对应一个长度为n的二进制数(规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中,0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5},则{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111,{e2,e3,e4} ↔ 01110,{e4} ↔ 00010)。
即其子集为00...0(n个0) ~ 11...1(n个1)。易知一共有2n个数,因此对应2n个子集。去掉11...1(即表示原来的集合A)则有2n-1个真子集,再去掉00...0(表示空集)则有2n-2个非空真子集。
2、命题2:空集是任意集合的子集。
证明:给定任意集合A,要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素;但是,∅没有元素。
对有经验的数学家们来说,推论 “∅没有元素,所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。 换一种思维将有所帮助,为了证明∅不是A 的子集,必须找到一个元素,属于∅,但不属于A。因为∅没有元素,所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
参考资料:百度百科-真子集
参考资料:百度百科-子集