经过点和一条直线怎么求这个平面的方程

Question

如题所述

Answer 1

设直线方程为(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c,已知点M1(X1,Y1,Z1)。

假设M(X,Y,Z)是所求平面上的任意一点.向量M0M,向量M0M1,及向量{a,b,c}共面,它们的混合积等于0.也就是由这三个向量组成的行列式等于0,这是一个三元一次方程,就是所求平面的方程.

例：求经过点M(1,0,0) 和直线(x-1)/2=(y+1)/3=z的平面的方程.

设平面方程为：ax+by+cz+d=0，因为点M(1,0,0)以及点N(1,-1,0)在直线上,而且向量[2,3,1]与平面法向量垂直。于是,
a+d=0
a-b+d=0
2a+3b+c=0
解得,对任意k非零：a=k，b=0，c=-2k，d=-k
于是,平面为：x-2z-1=0

扩展资料

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1

它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

参考资料百度百科-平面方程

Answer 2

前提是这个点不在这条线上~
用例子来说，例如:
经过点M(1,0,0) 和直线:(x-1)/2=(y+1)/3=z的平面的方程.

设平面方程为：ax+by+cz+d=0，因为点M(1,0,0)以及点N(1,-1,0)在直线上,而且向量[2,3,1]与平面法向量垂直。于是,
a+d=0
a-b+d=0
2a+3b+c=0
解得,对任意k非零：
a=k
b=0
c=-2k
d=-k
于是,平面为：x-2z-1=0

概括起来思路就是：这条线可以让你知道这条直线的方向向量和另一个也在这个平面上的点，也就相当于现在你知道了两个点和一个向量都在这个平面上，两点组成一个向量。这两点组成的向量和已知直线的方向向量都知道了，求法线就可以得到这个平面了~
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Answer 3

简单计算一下，答案如图所示

Answer 4

从两直线上找出三个点A,B,C.（不在同一条直线上）通过求向量AB和BC的内积即可求出该平面的法向量。进而可用法向量和一个点表示平面。

Answer 5

在直线上找一点m(x,y,z)，与已知的点k(q,w,s)形成一个向量mk，而由直线方程可知他的方向向量(a,b,c)。两个向量进行叉积计算可求出平面的方向向量，在于已知的点联立，就可得出平面方程。