反三角函数高次方后的泰勒级数展开式怎么证明？

Question

如题所述

Answer 1

要证明反三角函数高次方后的泰勒级数展开式，需要用到以下两个步骤：

求出反三角函数的一阶导数和二阶导数。

根据泰勒级数的公式，将反三角函数的导数代入公式，并求出高次方后的泰勒级数展开式。

下面以反正切函数为例，说明证明过程：

求出反正切函数的一阶导数和二阶导数。
反正切函数的一阶导数为：

f'(x) = \frac{1}{1+x^2}

反正切函数的二阶导数为：

f''(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}

根据泰勒级数的公式，将反正切函数的导数代入公式，并求出高次方后的泰勒级数展开式。
根据泰勒级数的公式，反正切函数的高次方的泰勒级数展开式可以表示为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...

代入反正切函数的一阶导数和二阶导数，得到：

f(x) = \arctan(a) + \frac{1}{1+a^2}(x-a) - \frac{2a}{(1+a^2)^2}(x-a)^2 + ...

这就是反正切函数高次方的泰勒级数展开式。

类似地，可以根据上述步骤推导出其他反三角函数高次方后的泰勒级数展开式。