拉格朗日插值和牛顿插值的异同？

Question

拉格朗日插值和牛顿插值的异同？
请有此方面研究的专家不吝赐教
一楼"Newton法是靠不停迭代来逼近函数方程的解的 它实际上是通过曲线一系列切线与x轴的交点的横坐标 来逼近曲线与x轴的交点的横坐标的."
这句话太深奥了？麻烦再解释下好吧
二楼的说的比较详细，也好懂，我也是数学的，老师要求这方面的深入研究，所以我来网上求助达人。呵呵

Answer 1

一、性质不同

1、牛顿插值：代数插值方法的一种形式。牛顿差值引入了差商的概念，使其在差值节点增加时便于计算。

2、拉格朗日插值：满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。

二、公式意义不同

1、牛顿插值：牛顿差值作为一种常用的数值拟合方法，由于其计算简单、计算点多、逻辑清晰、编程方便等特点，在实验分析中得到了广泛的应用。

特别是在实验中，当只能测量离散数据点或用数值解表示相应的关系时，可以用牛顿插值公式拟合离散点，得到更精确的函数解析值。

2、拉格朗日插值：在许多实际问题中，函数被用来表示某些内部关系或规律，许多函数只能通过实验和观察来理解。如果实际观测到一个物理量，并在多个不同的地点得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，它可以精确地提取每个观测点的观测值。

扩展资料：

拉格朗日插值的发现：

在数值分析中，拉格朗日插值法是由18世纪法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。在数学上，拉格朗日插值法可以给出一个多项式函数，它只通过二维平面上的几个已知点。

拉格朗日插值法最早由英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在《师范学校数学基础教程》一书中发表了这种插值方法，从此拉格朗日的名字就和这个方法联系在一起。

参考资料来源：百度百科-牛顿插值公式

参考资料来源：百度百科-拉格朗日插值法

Answer 2

其实，两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，让你求一条n次代数曲线近似地表示待插值的函数曲线．这就叫做代数插值啦．Lagrange插值代数和Newton法插值都属于代数插值的范畴．
Lagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利用n次多项式插值嘛，当然一样啦．
区别：Lagrange插值法是通过构造n+1个n次基本多项式，然后线性组合（结果当然也是n次的多项式啦）而得到的．
而Newton法插值是通过求各阶差商，递推得到的一个
f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]....+(x-x0)...(x-x(n-1))f[x0,x1...xn]这样的公式，代进去就可以得到啦（其实一楼概括的很深入吧，抱歉我还没达到那种境界，呵呵）．
还有，Lagrange插值法在求每个基本多项式的时候要用到所有那些结点，因此如果需要再多加进去一个结点的话，需要重新求出基本多项式才可，而这需要大量的工程，于是数学家们就发明了Newton法啦，你看上面的那个式子，如果再加进去一个结点是不是只要在它后面再加上一个（x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))(x-xn)f[x0,x1...xn,x(n+1)]就行了呢？
这些是我自己总结出来的，希望各位多多赐教，也希望对你有所启发啊
如果你是数学系的，可以叫个朋友么？呵呵本回答被提问者采纳

Answer 3

Lagrange插值就是用Lagrange多项式， 把插值结点代进去 求和以逼近所要求的函数值
Newton法是靠不停迭代来逼近函数方程的解的 它实际上是通过曲线一系列切线与x轴的交点的横坐标 来逼近曲线与x轴的交点的横坐标的

Answer 4

余项和基本原理都没啥区别，只是当增加第n+1个节点的时候。用牛顿差值方法的话前n项的式子不用变，再增加一个式子就行了。而用拉的差值方法的话要改变所有的式子（n+1个）。

Answer 5

觉得一楼很搞笑，根本没看清你的问题。Newton 迭代和Newton 插值根本不是一码事好嘛。所以你看不懂也是正常的。

二楼说的已经很好了，拉格朗日插值和牛顿插值结果一模一样，只是求解思路不一样。好比一个一元二次方程，一个人用求根公式计算结果，而你用因式分解求解。