设线性方程组AX=有解，其中A是m乘n介矩阵。证明：AX=B有唯一解的充要条件是A转置与A的乘积是正定的。

Question

如题所述

Answer 1

因为 AX=B有解, 所以 r(A)=r(A,B)
所以此时
AX=B 有唯一解
<=> r(A)=n
<=> AX=0 只有零解
<=> x≠0时 Ax ≠ 0
<=> x≠0时 (Ax)^T(Ax) > 0 (A是实矩阵)
<=> x≠0时 x^T(A^TA)x >0
<=> A^TA 正定.来自：求助得到的回答