到底什么是三线合一定理

Question

如题所述

Answer 1

在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为三线合一。

三线和一定理简单来说就是：顶角的角平分线=底边中线=底边的高线=AD，实际上这三条线都指的是AD。

通过三线和一得出的逆定理：

① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③ 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

Answer 2

三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。

已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.

在△ABD和△ACD中：

{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

{ AB=AC（等腰三角形的性质)

｛ AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。

三线合一逆命题

1、如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

2、如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

3、如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

本回答被网友采纳

Answer 3

等腰三角形中,底边上的高,底边的中线,顶角的角平分线重合,称之为"三线合一"

Answer 4

定义
在等腰三角形ABC中，(设AB=AC)
它的底边上的高线，底边上的中线，及顶角平分线重合叫做“三线合一”
前提： 在等腰三角形中
证明
1.底边上的中线推底边上的高线和顶角平分线
.∵AB=AC ∴∠B=∠C
又∵BD=DC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC
∴AC⊥BD,AD平分∠BAC
其余两个推广结论证明与之类似，不重复。
应用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AC⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AC⊥BD
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=BC,AD平分∠BAC
∴AC⊥BD,BD=DC=1/2BC
逆推结论
在一三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中 任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。
（注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。）

Answer 5

等腰三角形中 高 中线 顶角的角平分线重合 三线重合