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若a是n阶方阵
若
n阶方阵
A可逆,(1)证明A*也可逆,并求A*的逆矩阵(2)求detA*
答:
首先我们要知道什么是
方阵
的代数余子式,这个你如果不知道,去查线性代数 我们有:A(A*)=(A*)A=|A|I (1) , I为单位矩阵 因为|A|≠0,所以(A*)也可逆,并且有(A*)(A/|A|)=I 故(A*)^-1=A/|A| 将(1)式两边取行列式:|A||A*|=|A|^
n
即|A*|=|A|^(n-1)...
设
n阶方阵
A的伴随矩阵为A*,当n>2时,证明(A*)*=|A|^n-2A
答:
当A可逆时,(A*)*=(A^(-1)|A|)=(A^(-1)|A|)^(-1)|A^(-1)|A|| =(A/|A|)|A|^
n
/|A| =A|A|^(n-2)当A不可逆时,|A|=0 A*是0矩阵或者秩为1的矩阵,此时(A*)*=0=|A|^n-2A 因此得证
若
n阶方阵
A满足A^2=0,E
是n阶
单位矩阵,则逆矩阵(A+2E)^-1=?
答:
不妨设逆矩阵为(x E+y A)于是由(A+2E)(x E+y A)=E 解出x=1/2,y=-1/4 逆矩阵(A+2E)^-1=1/2E-1/4A
第二题 线性代数 求大神解释
答:
此题是一个结论。若n阶方阵A的秩为n,则A*的秩为n
若n阶方阵
A的秩为n-1,则A*的秩为1 若n阶方阵A的秩小于n-1,则A*的秩为0 【解答】根据秩的定义,5阶方阵A的秩为3,那么所有A的4阶子式都为0.那么所有的A的代数余子式都为0 所以A*的所有元素都为0,A*是零矩阵。A*的秩为0...
设
A 是
数域F上的
n阶方阵
,并且有n个特征值。证明,存在数域F上的可逆矩阵...
答:
我证的是T^-1AT,你再调整一下字母吧~证明:设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,J1 λi 1 J2 λi J= ... Ji=...1 Jn 为Jordan标准型,而 λi ,i=1,2,...,s 由于λi都为实数,所以...
证明:若
n阶方阵
A的伴随矩阵A*可逆,则A可逆
答:
反证即可.
若A
不可逆,则 |A|=0 所以
AA
= |A|E = 0 因为 A 可逆,等式两边右乘(A*)^-1 得 A = AA*(A*)^-1 = 0(A*)^-1 = 0 即有 A=0 进而有 A*=0 这与 A 可逆矛盾.
A,B
是n阶方阵
,若AB=0,那么R(A)+R(B)≤n
答:
AB=0 r(A)+r(B)<=
n
的证明如下:这里与齐次线性方程的基础解系有关 AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解 因此B的列向量是AX=0解集的子集 则B列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,即n-r(A)即r(B)<= n-r(A)因此:r(A)+r(B)<=n ...
设A为
n
(n>2)
阶方阵
,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆
答:
AA
* = |A|·E.
若A
可逆, 有|A| ≠ 0, A* = |A|·A^(-1)也是可逆的.若A不可逆, 有|A| = 0, 故AA* = 0.r(A)+r(A*)-
n
≤ r(AA*) = 0, 即r(A*) ≤ n-r(A).当A ≠ 0, r(A) > 0, 得r(A*) < n, A*不可逆.而当A = 0, 由伴随矩阵的构造易得A* ...
若
n阶方阵
A为满秩方阵则它的伴随矩阵也是满秩矩阵
答:
若
n阶方阵
A为满秩矩阵,则|A|≠0,由于AA*=|A|E,两边取行列式可得,|A||A*|=|A|^n,则|A*|=|A|^(n-1)≠0,所以A*也是满秩阵。
已知
n 阶方阵
a 满足a 的平方十2a十4e=0,证明(a十e)可逆
答:
∵(a+e)^2=a^2+2a+e=-3e,两边取行列式得[det(a+e)]^2=(-3)^
n
≠0,∴det(a+e)=0,故a+e可逆。
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