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r(ab)≤r(a)+r(b)
r( AB)
是什么意思?
答:
AB为A矩阵乘以B矩阵,r(AB)为A乘以B的秩,
r(A)
为矩阵A的秩,
r(B)
为矩阵B的秩。min{r(A),r(B)}秩的最小值。
r(AB)≤
min(
r(A)
,
r(B)
)的意思就是矩阵A乘以矩阵B的秩小于等于A的秩和B的秩中的最小值。原因是因为矩阵的秩只会越乘越小,最大就是A矩阵和B矩阵的最小值。
线性代数中,为什么
r(AB)≤r
?
答:
A+
B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,即r(A+B
)≤r
+t=
r(A)+r(B)
线性无关能否推出
r(AB)≤r(A)
?
答:
证明:如果
AB
=0,那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设r(A)=r,那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解,所以:r(B)<=n-r=n-r(A)。因此,
r(A)+r(B)
<=n。线性无关一般是指向量的线性独立,指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
r(AB)
与
r(A+
B)有区别吗
答:
r(A,B)>=
r(A+
B)r(A,B)>=
r(B)
>=
r(AB)r(AB)
与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆,AB的秩等于A的秩,那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵,而左乘初等阵就是对B进行初等行变换,所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积,同理秩不变...
如何理解
r(ab)≤r(
ab
)+
n?
答:
由基本定理,它的维数=n-r(A)。现在有AB=0,所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间,所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A),即
r(A)+r(B)
<=n。这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例:对任意m*n矩阵A,n*s矩阵B,有r(A)+r(B)<=
r(AB)
+n。
r(ab)
的秩是什么意思?
答:
变化规律 1、转置后秩不变 2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 3、r(kA)=r(A),k不等于0 4、r(A)=0 <=> A=0 5、r(
A+
B)<=
r(A)+r(B)
6、
r(AB)
<=min(r(A),r(B))7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)证明:AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵 |AB O| |O En| A分乘下面两...
证明
r(A)+r(B)
-n<=
r(AB)
答:
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵 |AB O| |O En| A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有 |AB A| |0 En| 右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有 |0 A | |-B En| 所以,
r(AB)
+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=
r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
R(AB)≤
min{
R(A)
,
R(B)
}怎么证明?
答:
(2)如果把AB中的所有行向量与A中的极大无关组写成一个n维向量,那么这个极大无关组也是这个n维向量的极大无关组 (3)AB的极大无关组应该小于或者等于A中行向量的极大无关组所包含的向量数量,而极大无关组中向量的数量就是原向量组的秩 (4)B同理可证,结果就是
R(AB)≤
min{
R(A)
,
R(B)
}...
线性代数中,为什么
A+
B- n<=
r(AB)
答:
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵 |AB O| |O En| A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有 |AB A| |0 En| 右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有 |0 A | |-B En| 所以,
r(AB)
+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=
r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
A可逆,则
r(AB)
=
r(B)
,为什么?
答:
因为A可逆,所以r(A)=n,又因为
r(AB)
<=min(r(A),r(B))=min(n,r(B))【重要定理一】;①假设r(B)<n,则r(AB)<=r(B),又因为r(AB)=
r(A)+r(B)
-n【重要定理二】所以,r(AB)=n+r(B)-n=r(B);根据夹逼准则,r(AB)=r(B);②假定r(B)n.则r(AB)<=n,而又因为r(AB)=...
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