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柯西中值定理例题证明
柯西中值定理
的
证明
答:
罗尔
定理证明
:令f(x)=e^x-ex, 在【1,x】上用拉格朗日中值定理。则f(x)-f(0)=f'(u)(x-1), 1<u<x, 从而 e^x-ex-(e-e)=(e^u-e)(x-1)>0 (x>1)。所以 e^x>ex。
柯西中值定理
的证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M ...
中值定理
的
证明
过程是如何得出的?
答:
证明
由
柯西中值定理
,可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′(ξ)1=f′(ξ),0<;ξ<x,由此可知f(x)x′>0.这样就可以证明f(x)x在(0,+∞)上单调递增.不等式极限柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式...
请教
柯西中值定理
的
证明
答:
柯西(Cauchy)中值定理是微分中值定理的三大定理之一,它比罗尔(Rolle)定理与拉格朗日(Lagrange)中值定理更具一般性。也具有更广泛的应用性,但大多高等数学的教材中仅介绍了
柯西中值定理
及其
证明
,对该定理的应用涉及较少,不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。下面介绍一下利用柯西中值定理在求极...
什么是
柯西定理
?他有什么用?
答:
证明
由
柯西中值定理
,可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f′(ξ)1=f′(ξ),0<;ξ<x,由此可知f(x)x′>0.这样就可以证明f(x)x在(0,+∞)上单调递增.不等式极限柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限.两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式...
柯西中值定理证明
答:
证明:方法1 不防记F(x)=g(x)[f(x)-f(a)],则f(x)与F(x)在[a,b]上满足
柯西中值定理
条件,可知至少存在一点m属于(a,b)使得 [F(b)-F(a)]/[f(b)-f(a)]=F'(m)/f'(m),即g(b)={g'(m)[f(m)-f(a)]+f'(m)g(m)}/f'(m),整理即得证.方法2.记F(x)=[f(x)...
如何理解和应用
柯西中值定理
?
答:
柯西中值定理
(Cauchy's Mean Value Theorem)是微积分学中的一个基本定理,它是拉格朗日中值定理(Lagrange's Mean Value Theorem)的推广。要理解和应用柯西中值定理,我们首先需要了解它的表述、
证明
以及在实际问题中的应用。柯西中值定理的表述如下:设函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上...
证明柯西中值定理
答:
证明柯西中值定理
如下:1、定义函数f(x)在(a,b)上的一个分割p:a=x0<x1<...<xn=b,以及对应的区间的端点xi的取值,令f(xi)=f(x)。这样,我们可以定义一个线性插值函数L(x):a≤x≤b,使得L(xi)=f(xi),i=0,n。2、证明对于任意的(a,b)上的分割p和任意选取的xi...
柯西中值定理
的
证明
答:
柯西中值定理
的
证明
,论述如下:1、如果函数f(x)在闭区间【a,b】上连续,并且在开区间(a,b)上可导,那么存在至少一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)其中,f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数,f(a)和f(b)分别表示函数在区间端点a和b处的值。2...
应用
柯西中值定理证明
答:
构造函数G(x)=f(x)-(x^3)[f(1)-f(0)]G(1)=f(1)-[f(1)-f(0)]=f(0)G(0)=f(0)-0=f(0)由
柯西中值定理
知 存在一点ξ 使得G'(ξ )=0 G'(x )=f'(x )-3x^2[f(1)-f(0)]G'(ξ )=f'(ξ )-3ξ^2[f(1)-f(0)]=0 即存在点ξ 使得f'(ξ )=3ξ^2[...
柯西中值定理
的
证明
方法是什么?
答:
柯西中值定理
我是这么理解的,函数在闭区间上连续,开区间上可导 F'(ξ) / f'(ξ) 看成这两函数在区间(a,b)内,x=ξ切线所在函数的斜率比 [F(b)-F(a)]/[f(b)-f(a)],就是在同一区间内两函数在x等于a和b时,纵坐标差的比 而斜率就是纵坐标和横坐标差的比,F(x)...
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