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为什么要在闭区间上连续
为什么
函数
在闭区间上连续
答:
函数在闭区间上连续意味着函数在闭区间的两个端点也连续
。换句话说,如果函数在闭区间上连续,那么它在该区间的任何一点都有定义,并且在闭区间的两个端点处都有定义。连续函数在数学分析中非常重要,因为它们具有许多有用的性质。例如,连续函数在其定义域内是可微的,这意味着它们具有导数。此外,连续...
零点定理
为什么
一定
要在闭区间上连续
,如果再开区间上
答:
总结来说,零点定理之所以限定在开区间上,
是为了确保结论的严谨性和有效性,避免在端点处可能的误导
。
为什么
函数连续要开区间连续而可导
要闭区间连续
?
答:
因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续
;而函数可导则要求函数在一点的左右导数均存在且相等,若为闭区间,则只能验证左端点是否有右导数,右端点是否有左导数,故函数在闭区间的端点处不可导。中值定理就是函数某点或者函数的某条斜率代替原函数的定理,所以需要闭区间连续开区间可导。
为什么在闭区间上
可导就一定
连续
呢?
答:
首先在闭区间上连续是为了使用费马引理
。其次在一点可导的一般情况,是左右导数都存在并且相等。所以如果将在开区间可导换为在闭区间可导,则对于端点处,可导性就成了左可导和右可导,这只是可导的特例,而作为定理,我们需要描述的是一般情况,因此用开区间。罗尔定理、微分中值定理、广义微分中值定理即...
为什么在闭区间上
的函数必须是
连续
的
答:
同样,
在闭区间上的连续也是为极限推可导服务的.之所以是闭区间是因为这样定义的连续更明确
,否则由于我们定义“邻域”时未定义“邻域”到底有多大(当然,也不可能给出邻域具体大小的定义),也就无法得知连续函数的“起点”和“终点”.能确定连续函数的“起点”和“终点”,就可以得到一些确定的特性,如...
f(x)
在闭区间
[ a, b]
连续
,
为什么
?
答:
因为函数f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续
,所以存在最大值与最小值,分别用M和m表示,分两种情况讨论:1. 若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数,结论显然成立 2. 若M>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又...
为什么在闭区间上连续
和开区间上可导是必要的条件?
答:
闭区间上连续:
在闭区间上连续
意味着函数在这个区间内的所有点都有定义,并且函数在这个区间内没有断点或间断。闭区间上连续是确保函数在这个区间内具有一些重要性质,如介值定理,最值定理等。开区间上可导:在开区间上可导意味着函数在这个区间内的每个点都存在导数。导数表示函数在某一点的瞬时变化率,...
零点定理
为什么
一定
要在闭区间上连续
,如果再开区间上
答:
如果结论是
在闭区间上
,那与结论是在开区间上只是多了两种情况:f(a)=0或者f(b)=0,但是因为条件是f(a)*f(b)<0,这个条件已经隐含了f(a)和f(b)都不等于0,所以结论虽然可以用闭区间叙述,但是闭区间的端点取不到,所以就用紧的结论--开区间叙述了。这就好像,能确定x>5,就不要写x>4...
零点定理
为什么
要求
在闭区间上连续
答:
首先来看零点定理的条件:f(x)
在闭区间上连续
,且f(a)·f(b)<0。也就是满足这个条件后面的结论才成立。结论是
什么
呢?——开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0。那既然第一行条件已经说了f(a)·f(b)<0,那f(a)和f(b)必然不可能等于0。那自然满足f(ξ)=0的ξ这个点就不...
为什么
是
在闭区间上连续
,在开区间上可导
答:
同样,
在闭区间上的连续也是为极限推可导服务的.之所以是闭区间是因为这样定义的连续更明确
,否则由于我们定义“邻域”时未定义“邻域”到底有多大(当然,也不可能给出邻域具体大小的定义),也就无法得知连续函数的“起点”和“终点”.能确定连续函数的“起点”和“终点”,就可以得到一些确定的特性,如...
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