第1个回答 2022-06-12
有限群中，单群有这样几类，一个是素数群，一个是奇置换群，一个是有限维特殊线性群的射影群，还有散在群。
素数群是简单的，有限交换单群分类，就只有素数群，它们构成了交换群的基础，任意一个有限交换群总可以分解为几个素数群的直积。
这一结果不难理解，就像素数在整数乘法中起到的基础作用一样，群按照阶来看的话，和整数理论没什么区别，因为阶总是整数，而子群的阶总能整除群的阶，可以视为群的阶的因子，正如素数是整数的所有因子中最特殊的存在，素数阶群自然也是群的所有子群中最特殊的存在了。
这种相似性在群论里面比比皆是，所以，数论和代数的联系是非常紧密的，至少在这样的整数性质下是很相似的。
不过，毕竟还是有区别的，并不是所有的群阶的因子都可以构成子群，这种微妙也导致了许许多多的变化。不过，为什么呢？具体的原因好像很复杂，虽然学过了，但是，还没有一个明确的概念，感觉上是因为群中特殊的元素，单位元，对群进行共轭类分解之后，单位元自成一类，为一阶元素，剩下的二阶元素，高阶元素各种成类，而且可以重复，这就构成了计数公式，G=1+2a+3b+...任意给定一个群的阶，就可以按照公式进行分解，比如6=1+2+3只有一种分解方式，对应的乘法分解为6=2*3，所以对于6阶群而言，使用范畴的语言，在同构的意义下只有一种构型。换一个数8=1+2+2+3=2*4也是只有一种构型，再换一个数12=1+2*4+3=1+2+3*3=1+3*2+5=...这个情况就很多了，所以有着许多种构型。
所以，这个就是原因了，群的阶不仅满足乘法分解，还需要满足加法分解。所以整数理论还是有显著区别的。然后，忽然想到，这种分解的形式好像在量子力学中见过，近独立粒子分布那里，量子统计里面的费米分布，狄拉克分布之类的。由于相同粒子的不可辨分性，所以处于同一状态的相同粒子之间的置换不会导致新的量子态。这与上面的方法其实是一样的，假设系统非简并，那么不同能级就可以视为群元素不同的阶，于是可以构造出一个同构，联系这两个例子，同阶的元素其排列顺序是无所谓的，正如同一能级，其粒子的排列顺序也是无所谓的。
不过，这两种应用也是有不同之处的。
没想到，仅仅一个素数群就占据了这么长的篇幅，后面的也就算了，毕竟我自己搞得也不太清楚。
奇置换群还好，是置换群中的奇置换构成的子群，特殊线性群的射影群，就涉及了商结构，或者说拓扑操作，通过粘合映射实现新空间的构造，就像n维射影空间的构造，就是n维球面将对径点粘合而成的。又比如，单形的粘合可以系统的构造出一些特殊的拓扑空间。
散在群，是出乎意料的产物，也是有限单群分类给出的重要结果，说明即使是看似简单的单群之中都还有一些鲜为人知的特殊存在。这些群阶数很高，想要表示出来都绝不是易事，这也反映一种倾向，虽然人们往往将数学视为逻辑的优美体现，是超越时代的，但是，没有足够的计算能力的支撑，这种游戏能走多远呢？
技巧和力量，哪一个最重要呢？这也是很有意思的问题，即使有精巧的方法，没有足够的算力支撑，也是无法实用的，而一味追求力量，却没有好的方法，也是白费力气。