如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是AB的中点，连接OA、OB．（1）如图1，若∠AOB=120°，求证：四边形OACB是

Question

如图，A、B、C是⊙O上三点，且C是AB的中点，连接OA、OB．（1）如图1，若∠AOB=120°，求证：四边形OACB是菱形，并求ABOC的值．（2）如图2，弦CD⊥OA于点E，若sin∠CDB＝13，求tan∠DBC的值．

Answer 1

（1）证明：∵C是弧BC的中点，∠AOB=l20°
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．
∵∠AOC=60°，
∴

AM

AO

=

3

2

，
∴AM=

3

2

AO，
∴AB=

3

AO，
∵CO=AO，
∴

AB

OC

=

3

；

（2）解：连接CO并延长交⊙O于点M，连接BM，过点B作BF⊥CM于点F，
∵∠CDB=∠CMB，sin∠CDB＝

1

3

，
∴sin∠CMB=

BC

CM

=

1

3

，
设BC=x，则MC=3x，
故BM=2

2

x，
∴BF?MC=BC?BM，
∴BF=

x?2 2 x

3x

=