高中数列求和的几种方法

Question

如题所述

Answer 1

1.
公式法：
等差数列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=a1·q^(n-1)
cn=anbn
tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qtn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
sn
=an+
a(n-1)+a(n-3)......
+a1
上下相加
得到2sn
即
sn=
（a1+an)n/2
4.分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝
1-1/(n+1)＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：求证：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
=
2×3×4×5×(1/5
+1)
=
2×3×4×5×6/5
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。

Answer 2

1.
公式法：
　　等差数列求和公式:
　　Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
　　等比数列求和公式：
　　Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
　　其他
　　1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法
　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
和等差等比数列相乘
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
　　例如：
　　an=a1+(n-1)d
　　bn=b1·q^(n-1)
　　Cn=anbn
　　Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
　　qTn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
　　Tn-qTn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
______①
　　=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
　　=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
　　Tn=上述式子/(1-q)
　　此外.①式可变形为
　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1)
Sn为{bn}的前n项和.
　　此形式更理解也好记
3.倒序相加法
　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
　　Sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
　　Sn
=an+
a(n-1)+a(n-2)......
+a1
　　上下相加
得到2Sn
即
Sn=
（a1+an)n/2
4.分组法
　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
　　例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
　　适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
　　常用公式：
　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）
　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5）
n·n!=(n+1)!-n!
　　（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）
　　[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
　　则
　　Sn
　　=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　=
1-1/(n+1)
　　=
n/(n+1)
　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
　　注意：
余下的项具有如下的特点
　　1余下的项前后的位置前后是对称的。
　　2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
　　（1）证明当n取第一个值时命题成立；
　　（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
　　例：
　　求证：
　　1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
　　证明：
　　当n=1时，有：
　　1×2×3×4
=
24
=
2×3×4×5/5
　　假设命题在n=k时成立，于是：
　　1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
　　则当n=k+1时有：
　　1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
　　=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
　　即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
　　先将通项公式进行化简，再进行求和。
　　如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
　　例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
　　方法一：（并项）
　　求出奇数项和偶数项的和，再相减。
　　方法二：
　　（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]