求定积分 ∫ (π→0） √（1+sin 2x ） dx

Question

如题所述

Answer 1

∫ (π→0） √（1+sin 2x ） dx
=-∫ (0→π） √（1+sin 2x ） dx
=-∫ (0→π） √(sin²x+cos²x+2sinxcosx) dx
=-∫ (0→π） √(sinx+cosx)² dx
=-∫ (0→π） |sinx+cosx| dx
在（0→3π/4）内sinx+cosx>0，在(3π/4→π）内，sinx+cosx<0
=-∫ (0→3π/4） (sinx+cosx) dx+∫ (3π/4→π） (sinx+cosx) dx
=cosx-sinx |(0→3π/4）+(-cosx+sinx) |(3π/4→π）
=-√2/2-√2/2-1+1-√2/2-√2/2
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Answer 2

原函数-0.5cos2x 把π带进去等于-0.5 把0带进去等于-0.5 所以积分等于0 ∫(0，π) sin2x dx = (1/2)∫(0，π) sin2x d(2x) = (-1

Answer 3

将sin2x化成2sinxcosx,再分部积分。