求sin18°的值,根式表示

Question

如题所述

Answer 1

复数方法如下:
解 令z=cos72°+isin72°,则z^5=1.即
(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0
因为z≠1,所以 z^4+z^3+z^2+z+1=0
z^2+z+1+1/z+1/z^2=0
令y=z+1/z,则 y^2+y-1=0.
解得:y=(-1±√5)/2
又y=z+1/z=2cos72°>0
所以 cos72°=(-1+√5)/4
故 sin18°=cos72°=(-1+√5)/4.
几何方法如下：
转化成求cos72°
cos72°的求法如下
构造一个等腰三角形ABC,使其两个底角∠A、∠B的度数为72°,那么它的顶角∠C=36°
作∠A的平分线AD,交BC与D
很容易得出三角形CAD和三角形BAD都是等腰三角形
且三角形ABC相似于三角形ABD,
然后通过比例关系、余弦定理就可以求出cos72°
最终得出sin18°