已知函数y=f(X)的定义域为R，对任意的x，x‘∈R，均有f(x+x'),且对任意实数x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3

Question

求证函数在R上是减函数
求证函数是奇函数
试求函数在[m,n](m,n∈Z，且mn<0)上上的值域

Answer 1

已知函数y=f(X)的定义域为R，对任意的x，x‘∈R，均有f(x+x')=f(x)+f(x')
设x1<x2，则x2-x1>0 ，则f(x2-x1)<0，
f(x2) =f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1) <0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上是减函数

（2）
f(a+b)=f(a)+f(b)
令a=0，则有
f(0+b)=f(0)+f(b)
f(b)=f(0)+f(b)
f(0)=0
令b=-a
f(a-a)=f(a)+f(-a)
f(0)=f(a)+f(-a)
0=f(a)+f(-a)
f(-a)=-f(a)
所以f(x)是R上的奇函数
函数在[m,n]上的值域是[-n,-m]
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)=-3
f(1)=-1
易知,m>0时，f（m）=mf(1)=-m
m<0时，f（m）=-f（-m）=-（-m）f(1)=mf(1)=-m
所以f（m）=-m，m是任意整数
所以函数在[m,n]上的值域是[-n,-m]