用柯西不等式证明:（1）设a.b.c∈R+.求证bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c （2）证明(x^2+4/y^2)(y^2+1/x^2)≥9

Question

如题所述

Answer 1

第一问毋须柯西不等式，一看这种连乘对称的很容易想到基本不等式
a,b,c∈R+
由基本不等式x^2+y^2≥2xy
(bc/2a)+(ac/2b)≥2√[(bc/2a)(ac/2b)]=2√(abc^2/4ab)=c
(bc/2a)+(ab/2c)≥2√[(bc/2a)(ab/2c)]=2√(acb^2/4ac)=b
(ac/2b)+(ab/2c)≥2√[(ac/2b)(ab/2c)]=2√(bca^2/4bc)=a
三式相加即得:(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)≥a+b+c

第二问倒是柯西不等式的典型应用
解答如下：
(x^2+4/y^2)(y^2+1/x^2)=（x^2+4/y^2)(1/x^2+y^2) 注：这是柯西不等式应用时很经典的变换！

≥（x*（1/x）+（2/y）*y)^2=(1+2)^2=9，得证。