第1个回答 2012-05-05
备战2011高考数学――压轴题跟踪演练系列一
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线 过点 ，交抛物线于 两点，是否存在垂直于 轴的直线 被以 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为 ，将 代入方程得
………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为 …………………（2分）
对于椭圆，
………………………………（4分）
对于双曲线，
………………………………（6分）
（Ⅱ）设 的中点为 ， 的方程为： ，以 为直径的圆交 于 两点， 中点为
令 ………………………………………………（7分）
…………（12分）
2．（14分）已知正项数列 中， ，点 在抛物线 上；数列 中，点 在过点 ，以方向向量为 的直线上.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，问是否存在 ，使 成立，若存在，求出 值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数 ，不等式 成立，求正数 的取值范围.
解：（Ⅰ）将点 代入 中得
…………………………………………（4分）
（Ⅱ） ………………………………（5分）
……………………（8分）
（Ⅲ）由
………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点 的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,
延长线段ON交C于点E.
求证: 的充要条件是 .
解: (1)设点 , 点M的坐标为 ,由题意可知 ………………(2分)
又 ∴ .
所以, 点M的轨迹C的方程为 .………………(4分)
(2)设点 , , 点N的坐标为 ,
一当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O,
不合题意,舍去; ………………(5分)
二设直线l:
由 消去x,
得 ………………①
∴ ………………(6分)
∴ ,
∴点N的坐标为 .………………(8分)
①若 , 坐标为, 则点E的为 , 由点E在曲线C上,
得 , 即 ∴ 舍去).
由方程①得
又
∴ .………………(10分)
②若 , 由①得 ∴
∴点N的坐标为 , 射线ON方程为: ,
由 解得 ∴点E的坐标为
∴ .
综上, 的充要条件是 .………………(12分)
4.（本小题满分14分）已知函数 .
(1) 试证函数 的图象关于点 对称;
(2) 若数列 的通项公式为 , 求数列 的前m项和
(3) 设数列 满足: , . 设 .
若(2)中的 满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.
解: (1)设点 是函数 的图象上任意一点, 其关于点 的对称点为 .
由 得
所以, 点P的坐标为P .………………(2分)
由点 在函数 的图象上, 得 .
∵
∴点P 在函数 的图象上.
∴函数 的图象关于点 对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以 ,
即 ………………(6分)
由 , ……………… ①
得 ………………②
由①＋②, 得
∴ ………………(8分)
(3) ∵ , ………………③
∴对任意的 . ………………④
由③、④, 得 即 .
∴ .……………(10分)
∵ ∴数列 是单调递增数列.
∴ 关于n递增. 当 , 且 时, .
∵
∴ ………………(12分)
∴ 即 ∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分)
5．（12分） 、 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆的右准线，点 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点.
（1） 当 时，求 的面积；
（2） 当 时，求 的大小；
（3） 求 的最大值.
解：（1）
（2）因 ，
则
（1） 设
，
当 时，
6．（14分）已知数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ，
（2） 求 的表达式及 的值；
（3） 求数列 的通项公式；
（4） 设 ，求证：当 且 时， .
解：（1）
所以 是等差数列.则 .
.
（2）当 时， ，
综上， .
（3）令 ，当 时，有 （1）
法1：等价于求证 .
当 时， 令
，
则 在 递增.
又 ，
所以 即 .
法（2）
（2）
（3）
因 ，所以
由（1）（3）（4）知 .
法3：令 ，则
所以
因 则 ，
所以 （5）
由（1）（2）（5）知
7． (本小题满分14分)
第21题
设双曲线 =1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有| |2 = | • | ( O为坐标原点)；
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；
解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ),
解得： = ( , ), 同理可得 = ( , ),
∴| • | =| + | = . 4分
设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m2 = , n2 = ,
∴ | |2 = :m2 + n2 = + = ,
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴无论P点在什么位置，总有| |2 = | • | . 4分
（2）由条件得： = 4ab, 2分
即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分
这是其中的一部分，如果需要做典型题可以向我索要