高斯积分的几何意义是什么？

Question

如题所述

Answer 1

高斯积分的几何意义就是：
g是从点A所能看到曲线L的角的度量。
设(x,n)是x轴正方向与n的夹角，(x,r)是x轴正方向与r的夹角，则
(r,n)
=
(x,n)
-
(x,r)
所以
cos(r,n)
=
cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)
=((x-e)cos(x,n)/|r|
+
(y-m)sin(x,n)/|r|
代入高斯积分
g
=
∫[L]
((y-m)sin(x,n)/(|r|^2)
+
(x-e)cos(x,n)/(|r|^2))
ds
化成第二型曲线积分
g
=
±∫[L]
((y-m)/(|r|^2)
dx
-
(x-e)/(|r|^2)
dy)
±表示法线n的两个方向。
此方程满足积分路径无关的条件，假如L是一条闭曲线，A在L外部，那么g=0，如果A在内部，根据挖奇点法，积分结果为2π。