解：
三角形的三条中线必交于一点
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE 证明：延长OE到点G，使OG=OB ∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG ∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG ∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE
三角形的三条角平分线必交于一点
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB 证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF ∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB
三角形的三条高必交于一点
已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁， ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90° ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB
见图到百度百科 三角形的四心
参考资料：百度百科 三角形的四心