证明两共外接圆的三角形的西姆松线与P的位置无关

Question

如题所述

Answer 1

有三角形ABC，平面上有一点P。P
在三角形三边上的投影（即由P到边上的
垂足）共线（此线称为西姆松线,
Simson
line）当且仅当P在三角形的
外接圆上。
相关的结果有：
称三角形的垂心为H。西姆松线和
PH的交点为线段PH的中点，且这点在九
点圆上。
两点的西姆松线的交角等于该两点
的圆周角。
若两个三角形的外接圆相同，这外
接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交
角，跟P的位置无关。
从一点向三角形的三边所引垂线的
垂足共线的充要条件是该点落在三角形
的外接圆上。
希姆松定理
证明
证明一：
△ABC外接圆上有点P，且
PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于
D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和
A、B、P、C分别共圆，于是
∠FDP=∠ACP
①，（∵都是∠ABP的补
角）
且∠PDE=∠PCE
②
而∠ACP+∠PCE=180°
③
∴∠FDP+∠PDE=180°
④
即F、D、E共线.
反之，当F、
D、E共线时，由④→②→③→①可见
A、B、P、C共圆.
证明二：
如图，若L、M、N三点共
线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，
PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、
L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN
=
∠PLN
=
∠PLM
=
∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN
=
∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于
AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和
M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN
=∠PLN
=∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。