已知直线的法向量N=（2，-3），并且与X轴、Y轴围成的直角三角形面积为3，求直线的方程。

Question

如题所述

Answer 1

设所求直线：x/a+y/b=1（截距式），即x/a=(y-b)/(-b)
所以直线的方向向量为：{a，-b}
因为直线法向量为{2，-3}，所以：2a+3b=0……⑴
因为直线与X轴,Y轴围成的直角三角形面积为3，所以|ab|=6……⑵
从⑴，b=-2a/3，代入⑵，(2a^2)/3=6，解得：a1=-3,a2=3,代入b=-2a/3，
得：b1=2,b2=-2，所以所求的直线方程为：
x/(-3)+y/2=1,即2x-3y+6=0与x/3+y/(-2)=1,即2x-3y-6=0. 因直线的法向量 = [2,-3],
所以
可设直线方程为

2x - 3y + a = 0

令x = 0,得 y = a/3,

令y = 0,得 x = -a/2.

3 = |a/3*(-a/2)|/2 = a^2/12,

a^2 = 36,

a = 6
或者
a = -6.

直线方程为
2x - 3y + 6 = 0
或者

Answer 2

设所求直线：x/a+y/b=1（截距式），即x/a=(y-b)/(-b)
所以直线的方向向量为：{a，-b}
因为直线法向量为{2，-3}，所以：2a+3b=0……⑴
因为直线与X轴,Y轴围成的直角三角形面积为3，所以|ab|=6……⑵
从⑴，b=-2a/3，代入⑵，(2a^2)/3=6，解得：a1=-3,a2=3,代入b=-2a/3，
得：b1=2,b2=-2，所以所求的直线方程为：
x/(-3)+y/2=1,即2x-3y+6=0与x/3+y/(-2)=1,即2x-3y-6=0.

Answer 3

因直线的法向量 = [2,-3],
所以
可设直线方程为

2x - 3y + a = 0

令x = 0,得 y = a/3,

令y = 0,得 x = -a/2.

3 = |a/3*(-a/2)|/2 = a^2/12,

a^2 = 36,

a = 6
或者
a = -6.

直线方程为
2x - 3y + 6 = 0
或者
2x - 3y - 6 = 0.本回答被提问者和网友采纳