定积分问题

Question

求下列函数的导数
想问的是第（6）题！

Answer 1

答：变积分上限的求导，相当于复合函数的求导
4）
F(x)=∫ (0→x) 1/√(1+t^4) dt
F'(x)=1/√(1+x^4)
6）
f(x)=∫ (0→x) (t^3-x^3) sint dt
=∫ (0→x) (t^3)sint dt - (x^3)∫ (0→x) sint dt
=∫ (0→x) (t^3)sint dt + (x^3)*[ (0→x) cost ]
=∫ (0→x) (t^3)sint dt +(x^3)*(cosx-1)
所以：
f'(x)=(x^3)sinx- 2(x^2)*(cosx-1)+(x^3)*(-sinx)
=-2(x^2)*(cosx-1)追问

答案是3x^2(cosx-1)

追答

哦，x^3的求导搞错误了，修正如下：
6）
f(x)=∫ (0→x) (t^3-x^3) sint dt
=∫ (0→x) (t^3)sint dt - (x^3)∫ (0→x) sint dt
=∫ (0→x) (t^3)sint dt + (x^3)*[ (0→x) cost ]
=∫ (0→x) (t^3)sint dt +(x^3)*(cosx-1)
所以：
f'(x)=(x^3)sinx+ 3(x^2)*(cosx-1)+(x^3)*(-sinx)
=3(x^2)*(cosx-1)

追问

第三行那个步骤看不懂。。。为什么sint变成cost了。。。

追答

cost的导数是-sint：
(cost) '=-sint

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Answer 2

分成2个积分：
=∫(0,x)t^3sintdt-x^3∫(0,x)sintdt ,求导得：
x^3sinx-3x^2∫(0,x)sintdt-x^3sinx
=-3x^2∫(0,x)sintdt