(2012吉林长春10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在AD上以 cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s).
(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为______cm,(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在AB边上时,求t的值.
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式.
(4)连结CD.当点N于点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围.
【答案】解:(1)t-2。
(2)当点N落在AB边上时,有两种情况:
①如图(2)a,当点N与点D重合时,此时点P在DE上,DP=2=EC,即t-2=2,t=4。
②如图(2)b,此时点P位于线段EB上.
∵DE=1 2 AC=4,∴点P在DE段的运动时间为4s,
∴PE=t-6,∴PB=BE-PE=8-t,PC=PE+CE=t-4。
∵PN∥AC,∴△BNP∽△BAC。∴PN:AC = PB:BC=2,∴PN=2PB=16-2t。
由PN=PC,得16-2t=t-4,解得t= 。
综上所述,当点N落在AB边上时,t=4或t= 。
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有两种情况:
①当2<t<4时,如图(3)a所示。
DP=t-2,PQ=2,∴CQ=PE=DE-DP=4-(t-2)=6-t,AQ=AC-CQ=2+t,AM=AQ-MQ=t。
∵MN∥BC,∴△AFM∽△ABC。∴FM:BC = AM:AC=1:2,
即FM:AM=BC:AC=1:2。
∴FM= AM= t.
∴
。
②当 <t<8时,如图(3)b所示。
PE=t-6,∴PC=CM=PE+CE=t-4,AM=AC-CM=12-t,PB=BE-PE=8-t,
∴FM= AM=6- t,PG=2PB=16-2t,
∴
。
综上所述,S与t的关系式为: 。
(4)在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围是:t= 或t=5或6≤t≤8。
【考点】动点问题上,相似形综合题,勾股定理,相似三角形的判定和性质,梯形和三角形的面积。
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