这属于组合数学中的整数拆分问题，好像没有直接计算结果的公式，但有解决问题的通用方法。我知道一种用代数知识解决此类问题的方法。详细讲述篇幅很长，我只给你说说关键地方，你可以自己查看有关书籍。
（1）是一个定理：
将一个正整数n，拆分为【最多k个】、【任意大小（可重复）的】正整数之和的方法数；
与：
将该正整数n，拆分成【任意多个】、【最大为k的（可重复的）】正整数之和的方法数；
是相等的；
你的问题属于第一种拆分。当然，你的要求是【恰好分成4个】，而定理的内容是【最多k个】。这种情况在第二种拆分中也有对应方法，只需增加一个条件：
拆分出的加数中，至少有一个为k；（对于你的题目，就是要至少有一个4）
（2）就是求第二种拆分的方案数：
看下面这个代数式：
(1 + x + x^2 + x^3 +...)·(1 + x^2 + x^4 + x^6 +...)·(1 + x^3 + x^6 + x^9 +...)；
①、第1个多项式是x的自然数——即1的整数倍——次幂的连加；
②、第2个多项式是x的偶数——即2的整数倍——次幂的连加；
③、第3个是x的3的整数倍次幂的连加；
省略号表示它们分别有任意多项；
这几个式子相乘展开后，会变成x的自然数次幂的连加——与①式的区别是，每一项的系数不同了。就拿 x³ 而言，它的系数为：3。怎么算的呢？——是通过在①、②、③式中分别选取一项，连乘后合并得到的：
3x³＝x·x²·1＋x³·1·1＋1·1·x³；
对于上式的3项，可以赋予以下意义：
x·x²·1：整数 3 可拆分为：1个①、1个②、0个③；
x³·1·1：整数 3 可拆分为：3个①、0个②、0个③；
1·1·x³：整数 3 可拆分为：0个①、0个②、1个③；
这说明：在展开式中，x的n次项系数，就是整数n按第二种方式拆分的总方案数。
对于你的问题，我们需要先求：将16拆分为【最大为4】的若干个正整数和的方案数。因此需要将上面的代数式增加第④项：
1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16；
因为我们已经把n限定为16，所以每个多项式只需选取16次幂以下的项即可。
另外，你的要求是【恰好分成4项之和】，前面说过，对应第二种拆分，应该增加一个要求：加数4至少出现1次。那就表示，应该排除④中的0次项——1。即变为：
x^4 + x^8 + x^12 + x^16；
然后最终展开式中，16次项的系数即是你要求的结果。答案是：34。
追问那16次项的系数怎么算呢？
追答我不知道还有没有更好的方法，我只知道一种笨但有效的方法。先列出式子：
(1 + x + x^2 +...+ x^16)·(1 + x^2 + x^4 +...+ x^16)·(1 + x^3 + x^6 +...+ x^15)·(x^4 + x^8+...+ x^16)；
该式就是用于求解将16拆分为若干个1、2、3和至少1个4之和的拆分方法及方案数的；同时也用于求解将16拆分为4个数之和的方法及方法数。
对于上式的展开式，不论是几次项，它最终都是分别从4个子多项式（从左到右分别记之为：①、②、③、④）中各选一项进行相乘的结果，这很类似分4步、从4个箱子中选球的过程。
因为我们只想要相乘后次数为16的那些项，所以最后几步的选择可能不是任意的，而是有要求的。
又因为①中包含了0～16各个次数的项，所以不论其他三个子式的结果如何，该式中都有办法找到合适的项与之相配。因此该式应该放在最后一步。同理，项数越少，就越应该排在前面。因此，我们应该按照从右到左的顺序依次选取各个项；
而且不难发现，当④、③、②式中的项选定后，①中总是有且只有1项可与之配成最终的16次项。所以，我们只需先从④、③中选取，然后看②式中有几个项“可能”与之配成16次项——即前3步配出的总次数≤16，也就知道最终有几种方案了。
（1、从④选16次项；
此时前3个式子中都只能选择0次项——1，所以：此时只有1种方案；
（2）从④中选12次项；
此时的次数还差4，需要从前3项中配出来。显然③中可用的项只有｛0，3｝——均指次数；
（2.1）从③中选0次项：
此时仍然差4次，要从前2项中配出来；②中可用的项有｛0，2，4｝，共计3项。所以此情形下的方案数有3种；
（2.2）从③中选3次项：
还差1次，②中可选的项只有｛0（次项）｝，即：1种方案；
（3）④＝8；
还差8；③∈｛0，3，6｝；
（3.1）③＝0；
还差8；②∈｛0，2，4，6，8｝；共计5种；
（3.2）③＝3；
还差5；②∈｛0，2，4｝；共计3种；
（3.3）③＝6；
还差2；②∈｛0，2｝；共计2种；
（4）④＝4的情形我就不说了，你应该知道怎么做了吧？