利用极坐标计算二重积分

Question

ff√R^2-X^2-y^2 其中D为圆域X^2+y^2=<RX 求详细步骤 望大侠解答

Answer 1

X^2+y^2=<RX 化为极坐标为0≤ρ≤Rcos θ -π/2≤θ≤π/2

∫∫√R^2-X^2-y^2=∫[-π/2≤θ≤π/2] dθ ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
=2∫[0≤θ≤π/2] ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ

令ρ=Rcost 则∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
=∫ [π/2≥t≥ θ] RsintRcost(-Rsint)dt=R³∫ [θ≤t≤π/2] sin²tdsint=R³[sin³(π/2)-sin³(θ)]/3
=R³[1-sin³(θ)]/3

∫∫√R^2-X^2-y^2=(2/3)R³∫[0≤θ≤π/2] [1-sin³(θ)] dθ=(2/3)R³(π/2-2/3)=2R³(3π-4)/9追问

=2∫[0≤θ≤π/2] ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ

大侠，我不明白，系数2怎么来的，望详细解答

追答

-π/2≤θ≤π/2是堆成，化为0到π/2的积分的2倍即可

追问

不明白大侠，能否具体说明啊，角度不就是从0≤θ≤π/2]，怎么还是-π/2≤θ≤π/2，麻烦您了

追答

角度是-π/2≤θ≤π/2，因为y有负的，

追问

我做了个图，不就是上半圆吗，没有下半圆啊，y怎么可能是负的呢，大侠有qq吗我实在是不明白。因为在圆域中，满足方程的只有上半圆啊

追答

D为圆域是个圆 ，不是半圆
X^2+y^2=<RX 可改写为 (x-R/2)²+y²=(R/2)²

追问

X^2+y^2=<RX指的是整个圆吗，那小于还有什么意义啊如果是这样的话，我可不可以不用系数二，范围定在-π/2≤θ≤π/2啊，为什么可以代换为两倍呢，我是真不会求详细解答

追答

X^2+y^2=<RX 化成 是(x-R/2)²+y²≤(R/2)² 不管上半圆还是下半圆均符合不等式

可以用-π/2≤θ≤π/2，因为-π/2≤θ≤0 和0≤θ≤π/2 是对称，所以可以编程两倍，
如偶函数在【-a,a】上积分=2倍的【0，a】上的积分
也可以如此积分
∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ=(-1/2)∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)d(R^2-ρ^2)

={(-1/3)√(R^2-ρ^2)³ } [0≤ρ≤Rcos θ]=(-1/3)[R³|sin³θ|+R³]= R³[1-|sin³(θ)|]/3
有绝对值的，那么-π/2≤θ≤0 是 R³[1+sin³(θ)]/3 积分
0≤θ≤π/2 是 R³[1-sin³(θ)]/3 积分 ，得分开计算

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