立体几何面面平行判断

Question

在棱锥p-ABC中，E F G分别在棱PA PA PC 上，且 PE/EA=PF/FB=PG/GC=1/2,求证平面EFG平行平面ABC(题上没有图）

Answer 1

在平面PAB中，
因为PE/EA=PF/FB=1/2，
所以△PEF∽△PAB，
所以EF∥AB；
同理，在平面PBC中，
因为PF/FB=PG/GC=1/2，
所以△PFG∽△PBC，
所以FG∥BC；

因为EF∥AB，FG∥BC，EF与FG交于F，AB与BC交于B，
所以平面EFG平行平面ABC追问

相似三角形可以证明？ 没这个定理呀

追答

以△PEF∽△PAB为例，
PE/EA=PF/FB，
PE/(PE+EA)=PF/(PF+FB)，
PE/PA=PF/PB，两组对应边成比例，
∠P=∠P，对应角相等，
所以△PEF∽△PAB（SAS）。
所以∠PEF=∠PAB，
所以EF∥AB（同位角相等，二直线平行）

Answer 2

三角形PAB内，易证：EF//AB,同理：FG//BC,EG//AC
则：面EFG//面ABC追问

求证EF//AB

追答

三角形PAB内，PE/EA=PF/FB,则：PE/PA=PF/PB,又因为：∠APB=∠APB,所以△PEF∽△PAB。
所以∠PEF=∠PAB.平面ABC内，EF//AB。明白了没。

追问

为什么相似就能知道他们平行

追答

同位角相等，两直线平行。。是利用这个定理

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