正方体ABCD-A`B`C`D`中。EF与异面直线AC,A`D都垂直相交，求证：EF平行BD

Question

如题所述

Answer 1

辅助作图：取CD中点I，取AD中点H，取A1B1中点G，
连接这三个中点，组成一个面GHI。
则：A1D‖GI；AC‖HI
∵EF是A1D和AC的公垂线
∴也有：EF⊥GI,EF⊥HI
∴EF⊥面GHI

∵A1D和AC都是正方体的侧面对角线
∴AC⊥BD，AC⊥BB1
∴AC⊥面BDD1B1
∴AC⊥BD1
同理，A1D⊥BD1

∵A1D‖GI；AC‖HI
∴BD1⊥HI,BD1⊥GI
∴BD1⊥面GHI

根据：垂直同一个面的2条直线平行

BD1‖EF

故得证。