线性代数题设A为n阶正定矩阵,B为m*n实矩阵,证明B（转置）AB也正定

如题所述

第1个回答 2022-08-28

①B′AB是不能乘的,除非m=n.B应该是n*m阶.
②B是n*m阶.B′AB可以乘,是实对称的,但也不一定正定.
例如B=0.或者m＞n.（此时,行列式|B′AB|＝0）
③B是n*m阶,m≤n.秩B＜m.B′AB也不正定.（行列式＝0）
④只有在B是n*m阶,m≤n.并且秩B=m时.B′AB才是正定的.证明如下.
此时,线性方程组BX=0只有零解.（X是m维列向量）
对于任意非零实列向量X,Y=BX≠0.（Y是n维列向量）
X′（B′AB）X＝Y′AY＞0（∵A正定.）.
这就是说,B′AB是正定的.证毕.

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