第1个回答 2022-06-24
定义： 为辛空间,W为V的子空间,若 ,则称W为 的迷向子空间,若 ,即W是极大的(按包含关系)迷向子空间,也称为拉格朗日子空间,若 ,则称W为 的辛子空间
例：设 是 的辛正交基,则 是迷向子空间, 是极大迷向子空间,即拉格朗日子空间, 是辛子空间
性质：
对辛空间 的子空间
1.
2.
3.若U是辛子空间,则
4.若U是迷向子空间,则
5.若U是拉格朗日子空间,则
定理：设L是辛空间 的拉格朗日子空间, 是L的基,则它可扩充为 的辛正交基
证明：
推论：设W是 的迷向子空间, 是W的基,则它可扩充成 的辛正交基
证明：
注：对于辛子空间 , 也是非退化的,同样 也非退化
定理：辛空间 的辛子空间 的一组辛正交基可扩充成 的辛正交基
证明：
定理：令 为辛空间,U和W是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间,则有 的辛变换把U变成W
证明：
辛空间 的两个子空间U及W之间的(线性)同构 若满足
,则称 为V与W间的等距
定理：辛空间 的两个子空间V,W之间若有等距,则此等距可扩充成 的一个辛变换
1. 是辛空间 上的辛变换, 的行列式为1
2.取定 的辛正交基 ,设 在该基下矩阵为K,此时有
定理：设 是2n维辛空间中的辛变换, 是 在某辛正交基下矩阵,则它的特征多项式 满足
若设 ,则
证明：
注：定理说明,辛变换 的特征多项式 的(复)根 与 同时出现,且具有相同的重数
在P中的特征值也是一样
又|K|等于 的所有(复)根的积, ,故特征值 的重数维偶数
又不等于 的复根的重数的和及空间的维数都是偶数,故特征值为+1的重数也是偶数
定理：设 是数域P上辛空间 上辛变换 在P中的特征值,且 ,设 是V中对应于特征值 及 的特征子空间,则 ,有 ,即 与 是辛正交的
特别当 时, 是迷向子空间
证明：