Gamma分布定义

Question

如题所述

Answer 1

Gamma分布是一种重要的连续概率分布，其定义基于两个参数：形状参数α和尺度参数β。当随机变量X的密度函数满足以下关系:

f(x; β, α) = \frac{1}{\Gamma(β) \cdot α^β} \cdot x^{β-1} \cdot e^{-\frac{x}{α}}

其中Γ(β)表示贝塔函数，这时我们称X服从参数为(β, α)的Gamma分布，记为Γ(β, α)。当β为正整数，Gamma分布可以看作α个独立指数分布的和；随着β的增大，Gamma分布的形状会更接近正态分布。

Gamma分布具有以下几个关键特性:

当β等于正整数n时，Gamma分布变为Erlang分布，常用于可靠性理论和排队论中的计数问题，如系统故障次数等。
当β为1，形状参数α时，Gamma分布简化为指数分布，记为exp(α)。
特别地，当α = n/2，β = 1/2时，Gamma分布对应于χ2(n)分布，是数理统计中常见的分布。

Gamma分布的数学期望和方差具体为:

E(X) = β/α, D(X) = β/(α * α)

一个重要的性质是Gamma分布的可加性：如果随机变量X1, X2, ..., Xn相互独立，且每个X_i都服从Gamma分布Xi ~ Γ(β_i, α)，那么它们的和X1 + X2 + ... + Xn也服从Gamma分布，其参数为β₁ + β₂ + ... + β_n, α。