已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)1.求证数列{an+1}是等比数列

Question

2.设bn=log2(an+1),求数列{bn}的前n项和

Answer 1

sn=2an-n
s
=2a
-2n+1
sn-s
=an=2an-2a
-1
an+1=2a
+2
s
=2a
-n-1
s
-sn=a
=2a
-2an-1
a
+1=2an+2
(an+1)/(a
+1)=(2a
+2)/(2an+2)=(a
+1)/(an+1)
所以数列{an+1}是等比数列
设Bn=b1+b2+b3+.....+bn=log2(a1+1)+log2(a2+1)+log2(a3+1)+........+log2(an+1)
=log2[(a1+1)(a2+1)(a3+1)........(an+1)]
这里不知道数列的公比，无法求具体的值
设{an+1}的公比为q
则Bn=log2[(a1+1)^n*q*q^2*q^3*........*q(n-1)]=nlog2(a1+1)+log2{q^[n(n-1)/2]}
=nlog2(a1+1)+log2(q)*n(n-1)/2
将已知的a1和q的值代进去，就可以了。

Answer 2

1、A(n 1)=(n 2)sn/n=S(n 1)-Sn
即nS(n 1)-nSn=(n 2)Sn
nS(n 1)=(n 2)Sn nSn
nS(n 1)=(2n 2)Sn
S(n 1)/(n 1)=2Sn/n
即S[(n 1)/(n 1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)

那么S(n 1)=(n 1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]*2^(n-2)
=(n 1)2^(n-2)
=(n 1)*2^n/2^2
=(n 1)2^n/4
=S(n 1)/4

所以有S(n 1)=4An

Answer 3

解：1.数列{an}a1=S1=2a1-1,a1=1数列{an+1}Sn+1*n=2an-n+1*n=2an,S(n+1)+n+1=2a(n+1)-n-1+1*(n+1)=2a(n+1)(S(n+1)+n+1)-(Sn+n)=a(n+1)+1=2a(n+1)-2ana(n+1)=2an+1a(n+1)+1=2(an+1)∴{an+1}是比例为2的等比数列，an+1=(a1+1)*2^(n-1)=2^n,(n∈N*)2.bn=log2(an+1),Sn=log2(2)+log2(2^2)+...+log2(2^n)=log2(2*4*8*...2^n)=(1+2+3+...+n)*log2(2)=n*(n+1)/2