证明下列不等式。详解 感谢

Question

如题所述

Answer 1

如图

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Answer 2

n=1时命题显然成立。 n=2时是均值不等式，等号成立的条件是x=y。设当n=k时命题成立，即(x^k+y^k)/2≥[(x+y)/2]^k 两边乘以(x+y)/2，有 [(x+y)/2]^(k+1) ≤(x^k+y^k)/2*(x+y)/2 =1/4*[x^(k+1)+x^ky+xy^k+y^(k+1)] ≤1/4*2[x^(k+1)+y^(k+1)] =[x^(k+1)+y^(k+1)]/2 即n=k+1时命题成立。所以原不等式成立，取等条件为x=y。中间用到了x^ky+xy^k≤x^(k+1)+y^(k+1)，当且仅当x=y时取等号这个结论。