求解静定结构位移的方法有很多种。最简单粗暴的,double integration,位移的导数是转角,转角的导数跟弯矩成比例。写出弯矩方程,写出边界条件,积分一次就能得到转角,再积分一次就能得到位移。并且,得到的是每一点的转角和位移数值。
当然,缺点就是太麻烦了,而且对于结构分析来说,可能重点不在于每一点的位移,而是在于某几个关键点的位移。所以,更多时候,虚功原理或者叫 unit load 是最常用的方法。
虚功原理为什么能成立,这属于材料力学的内容,所以我们不费过多的笔墨。从虚功原理出发,我们能得到伯努利虚位移原理和麦克斯韦位移互等,这些跟我们今后要提到的位移法、刚度矩阵直接相关。
首先,我们要考虑结构正常使用状态的变形限制。换言之,结构的极限状态的承载力要满足要求,不会倒塌、断裂;与此同时,结构的正常使用状态的变形也要满足要求,不会变形过大。否则的话,一是过大的裂缝和变形会对使用者造成不好的心理感受,二是会影响结构的功能,比如过大的结构变形会导致精密工厂、实验室不能正常运转。
其次,计算静定结构的位移是求解超静定结构的先决条件。我们知道,对于超静定结构,未知量的数目大于静力平衡方程的数目,所以,仅凭静力平衡条件是无法求解的。为了求解超静定结构的内力,我们还需要位移协调条件。
建立位移协调平衡方程的前提,是我们至少要能求算静定结构的内力。比如一根悬臂梁,自由端加一个竖向约束,一次超静定。为了求解这个一次超静定结构,我们需要把这个多余的竖向约束替换为竖向未知力,外荷载造成的该点的位移和这个未知力造成的该点的位移之和为零,继而求出这个未知力的大小。