第1个回答 2024-07-29
在置换群中，两个点的交换操作被称为对换。每个置换都可以表示为一系列对换的乘积，尽管这种表示并非唯一，但对换的总数（奇偶性）是唯一的。如果一个置换能被表示为偶数个对换的组合，那么我们称它为偶置换；反之，若为奇数个，则称为奇置换。
Sω（n元置换群）中所有的偶置换构成了一个正规子群，称为n元交错群，简称交错群，记作Aω。Sn（全置换群）中的交错子群则记作An。值得注意的是，n元交错群与An的置换结构是同构的。当n大于等于2时，An的阶数为n!除以2。在n不等于4的情况下，An是单群，这类单群在有限群中占据着核心地位，它们的研究具有重要意义。
置换群作为有限群的一种典型，其研究在有限群理论的早期就占据了核心位置。置换群的重要性还体现在它们对有限群理论的深入探讨中，为我们理解群的结构和性质提供了关键的切入点。