用初等变换将下列矩阵化为梯形阵
(已为梯形阵，但仍可化简)
(已为梯形阵，但仍可化简)
在 中任取k行k列，位于这些行、列相交处的 个元素，按原次序组成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
一般地： 矩阵A的k阶子式有 个。
共有4个3阶子式。
计算知，这4个3阶子式全为零。
矩阵A的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩。记作r(A)或者R(A)或秩(A)
例1.
这个矩阵不为零的子式的最高阶数为2。
显然：r(O)=0；只要A不是零矩阵，就有r(A)>0.并且：
（i）
（ii）若有一个r阶子式不为零，则r(A)≥r，
若所有的阶子式全为零，则r(A)<r.
（iii）r(A)=r(A).
（iv）设 ，若 ，则r(A)=n；若 ，则r(A)<n.
例2.
显然r(A)=r.
任何一个矩阵都可以经初等变换将其化为梯形阵。
梯形阵的秩是梯形阵中非零行的行数。
只需考虑矩阵经初等变换后其秩是否不变？
回答是肯定的，我们有：
定理：矩阵经初等变换后其秩不变。
初等变换不会改变矩阵为零或不为零的情况。
秩的求法：初等变换法
例3.
例4.
，t为何值时，r(C)<3?
时，r(C)<3.
矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。
显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：
定理：矩阵A与B等价的充要条件是r（A）=r（B）.
定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。
定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E.即
定义：若方阵A的行列式 ，则称A为非奇异矩阵；若 ，则称为A为奇异矩阵。
满秩 非奇异
降秩 奇异
1、用初等变换法，求出矩阵的秩
2、设 ，若r(A)=3，求a.